ریاضیات مهندسی جلد دوم
48000 تومان قیمت اصلی 48000 تومان بود.41000 تومانقیمت فعلی 41000 تومان است.
ریاضیات مهندسی ابزاری نیرومند در پیشبرد محاسبات ریاضی در حوزه مهندسی میباشد. بر همین اساس، کتاب عددهای مختلط و کاربردهای آن[1]، اثر جیمز وارد براون[2] و روئل وی چرچیل[3]، در قالب دو جلد ترجمه شده است. اثر پیش رو، جلد دوم از این مجموعه دو جلدی میباشد. در جلد یکم، عددهای مختلط، تابعهای تحلیلی، تابعهای مقدماتی، نگاشت با استفاده از تابعهای مقدماتی، و نگاشت همدیس مورد بحث قرار گرفته اند. در جلد دوم نیز انتگرالها، سریها، باقیماندهها و قطبها، کاربردهای باقیماندهها، و فرمولهای انتگرال گیری پواسون مورد بحث قرار گرفته اند. امید است این مجموعه، مورد توجه مهندسین و علاقهمندان به ریاضیات قرار گیرد.
[1] Complex Variables and Applications – Eighth Edition
[2] James Ward Brown
[3] Ruel V. Churchill
ناموجود
در مطالعه تابعهای مختلط، انتگرالها بسیار مهم هستند. تئوری انتگرال گیری، که در این فصل مورد بحث قرار میگیرد، دارای اهمیت بالایی در ریاضیات میباشد. تئوریهای بکار رفته، بصورت عمومی، دقیق و نیرومند هستند و بسیاری از اثباتها کوتاه هستند.
1- مشتق تابعهای w(t)
برای معرفی انتگرالهای f(z) بصورت ساده، در ابتدا میبایست مشتق تابعهای دارای مقدار مختلط w از یک متغیر حقیقی t را در نظر بگیریم. عبارت زیر را مینویسیم:
w(t)=u(t)+iv(t),
(1)
درحالی که تابعهای u و v، تابعهای با مقدار حقیقی از t هستند. مشتق:
w^’ (t), یا d/dt w(t),
متعلق به تابع (1) در نقطه t بصورت زیر تعریف میشود:
w^’ (t)=u^’ (t)+iv^’ (t),
(2)
در صورتی که مشتقهای u^’ و v^’ در t وجود داشته باشند.
با توجه به تعریف (2)، نتیجه میشود که برای هر ثابت مختلط z_0=x_0+iy_0 خواهیم داشت:
d/dt [z_0 w(t)]=[(x_0+iy_0 )(u+iv)]^’=[(x_0 u-y_0 v)+i(y_0 u+x_0 v)]’
=(x_0 u-y_0 v)^’+i(y_0 u+x_0 v)^’=(x_0 u^’-y_0 v^’ )+i(y_0 u^’+x_0 v^’ ).
ولی داریم:
(x_0 u^’-y_0 v^’ )+i(y_0 u^’+x_0 v^’ )=(x_0+iy_0 )(u^’+iv^’ )=z_0 w^’ (t),
و بنابراین به رابطه زیر میرسیم:
d/dt [z_0 w(t)]=z_0 w^’ (t).
(3)
قانون مورد انتظار دیگری که اغلب مورد استفاده قرار میگیرد، بصورت زیر است:
d/dt e^(z_0 t)=z_0 e^(z_0 t),
(4)
درحالی که z_0=x_0+iy_0 میباشد. برای اثبات، مینویسیم:
e^(z_0 t)=e^(x_0 t) e^(iy_0 t)=e^(x_0 t) cos〖y_0 t〗+ie^(x_0 t) sin〖y_0 t〗,
و با مراجعه به تعریف (2) در مییابیم که:
d/dt e^(z_0 t)=(e^(x_0 t) cos〖y_0 t〗 )^’+i(e^(x_0 t) sin〖y_0 t〗 )^’.
برخی قانونهای آشنا از ریاضیات و جبر ساده ، ما را به عبارت زیر هدایت میکنند:
d/dt e^(z_0 t)=(x_0+iy_0 )(e^(x_0 t) cos〖y_0 t〗+ie^(x_0 t) sin〖y_0 t〗 ),
یا:
d/dt e^(z_0 t)=(x_0+iy_0 ) e^(x_0 t) e^(iy_0 t).
این رابطه همانند رابطه (4) میباشد.
چندین قانون دیگر که در ریاضیات فرا گرفته شده اند، مانند قانونهای مربوط به مشتق گیری از جمعها و ضرب ها، همانگونه که برای تابعهای با مقدار حقیقی از t اعمال میشوند، به کار برده میشوند. همانند ویژگی (3) و فرمول (4)، اثباتها میتوانند بر اساس قانونهای مشابه در ریاضیات باشند. میبایست توجه شود که هر قانونی بر تابعهای گروه (1) اعمال نمیشود. مثال زیر بر این نکته تاکید دارد.
مثال: فرض کنید که w(t) در بازه a≤t≤b پیوسته است و تابعهای مولفهای u(t)و v(t) در آنجا پیوسته هستند. حتی در صورتی که w'(t) در حالتی که a<t<b است، وجود داشته باشد، تئوری مقدار متوسط برای مشتق ها، دیگر اعمال نمیشود. به بیان دیگر، اینکه عدد c در بازه a<t<b بصورتی وجود داشته باشد که رابطه زیر برقرار باشد، الزاما درست نمیباشد:
w^’ (c)=(w(b)-w(a))/(b-a).
برای مشاهده این نکته، تابع w(t)=e^it را در بازه 0≤t≤2π در نظر بگیرید. در هنگام استفاده از این تابع، عبارت |w'(t)|=|ie^it |=1 برقرار میباشد؛ و به این معنی است که مشتق w'(t) هرگز برابر با صفر نمیباشد؛ در حالی که w(2π)-w(0)=0 میباشد.
2- انتگرالهای معین از تابعهای w(t)
هنگامی که w(t) یک تابع با مقدار مختلط از متغیر حقیقی t باشد و بصورت زیر نوشته شود:
w(t)=u(t)+iv(t),
(1)
درحالی که u و v دارای مقدار حقیقی هستند، آنگاه انتگرال معین w(t) بر روی بازه a≤t≤b بصورت زیر تعریف میشود (در صورتی که هر کدام از انتگرالهای طرف راست وجود داشته باشند.):
∫_a^b▒〖w(t)dt=∫_a^b▒u(t)dt〗+i∫_a^b▒〖v(t)dt.〗
(2) بنابراین:
Re∫_a^b▒w(t)dt=∫_a^b▒Re[w(t)]dt و Im∫_a^b▒w(t)dt=∫_a^b▒〖Im[w(t)]dt.〗
(3)
مثال1: برای نمایش تعریف (2)، داریم:
∫_0^1▒〖〖(1+it)〗^2 dt=〗 ∫_0^1▒〖(1-t^2)〗 dt+i∫_0^1▒2tdt=2/3+i.
انتگرالهای ناسره (یا انتگرالهای مجازی)، از w(t) بر روی بازههای نامحصور به روشی مشابه تعریف میشوند.
وجود انتگرالهای u و v در تعریف (2)، در صورتی که این تابعها در بازه a≤t≤b بصورت تکهای پیوسته باشند، تضمین شده است. چنین تابعی در همه جا در بازههای گفته شده پیوسته است؛ بجز برای تعداد متناهی از نقطههایی که در آن نقطه ها، همچنان که ناپیوسته میباشد، دارای حدهای یک طرفه است. البته در نقطه a، تنها حد طرف راست، و در نقطه b، تنها حد طرف چپ مورد نیاز میباشد. هنگامی که هم u و هم v بصورت تکهای پیوسته باشند، گفته میشود که تابع w دارای آن ویژگی است.
قانونهای مورد انتظار برای انتگرالگیری از یک ثابت مختلط ضرب در تابع w(t)، برای انتگرالگیری از جمعهای چنین تابعهایی، و برای تعویض حدهای انتگرال گیری، همگی معتبر میباشند. این ویژگی ها، همچون ویژگی زیر به سادگی و با یادآوری نتیجههای مربوطه در ریاضیات، اثبات میشوند:
∫_a^b▒w(t)dt=∫_a^c▒w(t)dt+∫_c^b▒〖w(t)dt.〗
تئوری اساسی ریاضیات، شامل پادمشتق ، را میتوان بگونهای بسط داد تا به انتگرالهای گروه (2) اعمال شوند. به بیان دیگر، فرض کنید که تابع های:
w(t)=u(t)+iv(t) و W(t)=U(t)+iV(t)
در بازهa≤t≤b پیوسته هستند. اگر هنگامی که a≤t≤b است، W^’ (t)=w(t) باشد، آنگاه U^’ (t)=u(t) و V^’ (t)=v(t) میباشند. بنابراین، با توجه به تعریف (2)، داریم:
∫_a^b▒〖w(t)dt=〗 ├ U(t)] b¦a+i├ V(t)] b¦a=[U(b)+iV(b)]-[U(a)+iV(a)].
به بیان دیگر:
∫_a^b▒w(t)dt=W(b)-W(a)=├ W(t)] b¦a.
(4)
مثال 2: از آنجایی که (بخش 1) عبارت زیر برقرار است:
d/dt(e^it/i)=1/i d/dt e^it=1/i ie^it=e^it,
میتوان مشاهده نمود که:
∫_0^(π/4)▒〖e^it dt〗=├ e^it/i] (π/4)¦0=e^(iπ/4)/i-1/i=1/i(cos〖π/4〗+i sin〖π/4〗-1)=1/i(1/√2+i/√2-1)=1/√2+1/i(1/√2-1).
سپس از آنجایی که 1/i=-i میباشد، داریم:
∫_0^(π/4)▒〖e^it dt〗=1/√2+i(1-1/√2).
با یادآوری مثال موجود در بخش 1 درباره تئوری مقدار متوسط برای مشتقها در ریاضیات، در مییابیم که این تئوری به تابعهای با مقدار مختلط w(t) اعمال نمیشوند. مثال پایانی در اینجا نشان میدهد که تئوری مقدار متوسط بر روی انتگرالها نیز اعمال نمیشود. بنابراین در اعمال قانونهای موجود ریاضیات میبایست دقت شود.
مثال 3: فرض کنید که w(t) تابعی پیوسته و با مقدار مختلط از t باشد که در بازه a≤t≤b تعریف شده است. برای نشان دادن اینکه الزاما عدد c در بازه 0<t<b وجود ندارد؛ بگونهای که رابطه زیر را برقرار نماید:
∫_a^b▒w(t)dt=w(c)(b-a),
عبارتهای a=0 و b=2π را مینویسیم و از تابع w(t)=e^it (0≤t≤2π) همانند مثال موجود در بخش 1 استفاده میکنیم. به سادگی میتوان مشاهده نمود که عبارت زیر برقرار است:
∫_a^b▒w(t)dt=∫_0^2π▒〖e^it dt〗=├ e^it/i] 2π¦0=0.
ولی به ازای هر عدد c، بگونهای که عبارت 0<c<2π برقرار باشد، داریم:
|w(c)(b-a)|=|e^ic |2π=2π
و به این معنی است که w(c)(b-a) برابر با صفر نمیباشد.
تمرین
1- از قانونهای موجود در ریاضیات استفاده کنید و نشان دهید هنگامی که:
w(t)=u(t)+iv(t)
یک تابع مقدار مختلط از متغیر حقیقی t باشد و w'(t) وجود داشته باشد، آنگاه قانونهای موجود در گزینههای زیر درست هستند:
الف) d/dt w(-t)=-w'(-t) ؛ بطوری که w'(-t) نشان دهنده مشتق w(t) نسبت به t میباشد که در -t ارزیابی شده است.
ب) d/dt 〖[w(t)]〗^2=2w(t)w'(t)
2- انتگرالهای زیر را محاسبه کنید (Re z>0):
الف)
∫_1^2▒〖〖(1/t-i)〗^2 dt〗
ب)
∫_0^(π/6)▒〖e^i2t dt〗
ج)
∫_0^∞▒〖e^(-zt) dt〗
پاسخ: الف)
-1/2-i ln4
ب)
√3/4+i/4
ج)
1/z
3- نشان دهید در صورتی که m و n عددهای صحیح باشند، آنگاه عبارت زیر برقرار است:
∫_0^2π▒〖e^imθ e^(-inθ) dθ={█(0@2π) ┤ 〗 (m≠n)¦(m=n)
4- بر اساس تعریف (2) از بخش 1 درباره انتگرالهای معین از تابعهای با مقدار مختلط از متغیر حقیقی، رابطه زیر برقرار است:
∫_0^π▒〖e^((1+i)) dx=〗 ∫_0^π▒〖e^x cosx dx〗+i∫_0^π▒〖e^x sinx dx〗
دو انتگرال طرف راست را با محاسبه انتگرال موجود در طرف چپ و سپس استفاده از بخشهای حقیقی و موهومی متعلق به مقدار بدست آمده، محاسبه نمایید.
پاسخ: -(1+e^π)/2, (1+e^π)/2
5- فرض کنید w(t)=u(t)+iv(t) نشان دهنده یک تابع پیوسته و با مقدار مختلط باشد که در بازه -a≤t≤a تعریف شده باشد.
الف) فرض کنید w(t) زوج باشد؛ بنابراین به ازای هر نقطه t در بازه داده شده، w(-t)=w(t) میباشد. نشان دهید که رابطه زیر برقرار است:
∫_(-a)^a▒w(t)dt=2∫_0^a▒w(t)dt
ب) در صورتی که w(t) فرد باشد و به ازای هر نقطه t در بازه داده شده، w(-t)=-w(t) باشد، نشان دهید که رابطه زیر برقرار است:
∫_(-a)^a▒〖w(t)dt=〗 0
پیشنهاد: در هر بخش از این تمرین، از ویژگی انتگرال تابعهای با مقدار حقیقی از t، که به صورت گرافیکی آشکار میباشد، استفاده کنید.
محصولات مرتبط
بازیهای عزت نفس برای کودکان (کتاب الکترونیک)
راهنمای کاربری سنجش در مشاوره
ترتیب مطالب کتاب
ما ترتیب مطالب این کتاب را طوری قرار دادیم که طبق یک جریان منطقی ارائه شوند. فصلهای ۱ تا ۵ ، ارزیابی مؤلفههای اصلی سنجش در مشاوره را نشان میدهند. در این بخشها، شما در مورد پیشینه، تاریخچه، و ارتباط سنجش و ویژگیهای ابزارهای مطالبی خواهید آموخت. فصلهای ۶ تا ۸ شامل مسائل عملی مربوط به انتخاب، مدیریت، امتیازدهی و تفسیر ابزارهای سنجش میباشد. فصلهای ۹ تا ۱۳ شامل اطلاعات مربوط به انواع خاصی از ابزارها، به ویژه برای زمینههای تخصصی سازی، اصول در تفسیر و (اعلان نتایج) ارتباط نتایج و مسائل پاسخگویی است. هر فصل با اطلاعات مربوط به استفاده از مطالب ارایهشده به پایان میرسد. ما از مطالعات موردی فصل ۲ برای نشان دادن این که چگونه مطالب ممکن است در یک تنظیمات مشاوره استفاده شود، استفاده میکنیم. فصل ۱ سنجش را به عنوان یک فرآیند پیوسته در مشاوره معرفی میکنیم. مشاوران در خصوص جمعیتهایی که به آنها خدمت میکنند و شیوههایی که به کار میگیرند گزینههایی را در اختیار دارنداما سنجش یک جزء لاینفک همه جمعیتها است. عبارات کلیدی تعریف میشوند و همچنین تاریخچه سنجش را پوشش میدهیم و بر اشتباهات گذشته و ارتباط آنها با اعمال فعلی تاکید میکنیم. موضوعات اخلاقی و حقوقی مشخص میشوند. در فصل ۲ سه مطالعه موردی را معرفی میکنیم که در سراسر متن مورد استفاده قرار خواهند گرفت. ما عناصر اصلی (اجزای اصلی) یک مصاحبه ورودی را روشن میکنیم که به طور مفصل در فصل ۷ به آنها پرداخته میشود. ماهیت تشخیص و مرور کلی اختلالات سلامتی ذهنی در این فصل ارائه شدهاست. ما همچنین اطلاعات مربوط به یادداشت کردن و نگه داشتن نکات پیشرفت را ارائه میکنیم و روشهای رایج یادداشتبرداری را توضیح میدهیم ) روشهای مورد استفاده را فراهم می آوریم. فصل ۳ : این فصل به نظربیشترین تمرکز را بر روی آمار و ارقام دارد. ما مفاهیم پایهای اندازهگیری را ارائه میکنیم و به روشهای محاسبه و مفهومسازی نمرات با ابزارهای سنجش میپردازیم. دانشجویان قادر خواهند بود بین آزمونهای هنجار مرجع و معیار مرجع (تمایز قائل شوند و معیارهای گرایش مرکزی، تغییرپذیری و همبستگی را محاسبه و تفسیر کنند و نمرات را به اطلاعات بامعنا برای انجام مقایسهها تبدیل کنند و یک مفهومسازی از مشتری را تدوین نمایند در فصل 4 ما به روز ترین تعاریف اعتبارسنجی تست را با مقایسه با تکرارهای قبلی اعتبار آزمایش و اینکه چگونه این مفهوم تکاملیافته است ارائه میکنیم. پنج نوع مدرک اعتبار مورد تاکید قرار گرفته و به توسعه ابزارها گره خوردهاست. دانش آموزان یاد خواهند گرفت که چگونه اعتبار را ارزیابی کنند تا مصرفکنندگان آگاه ابزارها باشند. در فصل 5 پایایی را توضیح میدهیم یک نکته مهم این است که قابلیت پایایی را به عنوان یک مشخصه برای امتیازات تست (و نه خود تست یا مقیاسها) درک کنیم. ما بر روی روشهای مختلف پایایی نمرات تمرکز میکنیم مخصوصاً به این خاطر که آنها به نمونه هنجاری ربط دارند این کار را میکنیم. کاربردهای براوردهای پایایی برای این مطالعه موردی را ارائه کردهایم. ) کاربرد تخمین قابلیت اطمینان برای مطالعه موردی فراهم شدهاست. در فصل 6 فرصتی برای بازبینی مفاهیم فصل 1 تا 5 را داریم و این مفاهیم را برای انتخاب ابزارهای مناسب به کار میگیریم.) ما بر تواناییهای لازم برای استفاده از ابزار خاص تاکید میکنیم. همچنین نشان میدهیم که مشاوران چگونه میتوانند اطلاعات آزمونها را با استفاده از نقدهای آزمونها در پایگاههای دادههای مختلف بدست آورند ما به اطلاعات موجود در نقد آزمونها و کلیدهای تفسیر و کاربرد نقد آزمونها میپردازیم تا یک مصرفکننده آگاه از ابزارهای سنجش باشیم ، مورد بررسی قرار میدهیم. در فصل 7 مصاحبه بالینی که ابتدا در فصل ۲ مطرح شد را با جزئیات و تاکید بر ورودی روانی- اجتماعی، و با استفاده از مدل CLISD-PA و امتحان وضعیت ذهنی ارائه می کنیم. ما بر انواع مختلفی از دادههای ورودی تاکید میکنیم و به طور خاص ورودی سؤمصرف مواد را مورد توجه قرار میدهیم. ما همچنین اطلاعات مربوط به استفاده از مهارتهای مشاوره پایه را به عنوان بخش بخش لاینفک مصاحبه ورودی برای مصاحبه فراهم می کنیم. ما از مفاهیم مصاحبه بالینی برای مطالعات موردی استفاده میکنیم. فصل ۸ : این فصل که موضوعات چند فرهنگی در سنجش را مطرح میکند، یک فصل بنیادی و اساسی در بررسی ( موضوعاتی مانند سوداری آزمون در مقابل بیطرفی آزمون، ارزیابی با جمعیتهای خاص، و محدودیتهای تعمیم پذیری از نمونههای هنجاری معمولی است. ما و چگونگی تأثیرگذاری مکان و امکانات بر تفسیر نمرات را بررسی میکنیم را بررسی میکنیم و این که این امکانات چگونه می تواند بر تفسیر امتیازها اثر بگذارد. در نهایت ما نشان میدهیم که چگونه مشاوران میتوانند توانمندی میان-فرهنگی خود را به عنوان متخصصان ارتقاء بهبود دهند و معانی چند فرهنگی را در این مطالعه مورد بررسی قرار دهند. در فصل ۹: در مورد شباهتها و تفاوتهای تست های هوش، دستیابی و استعداد بحث میکنیم و این ساختارها را در زمینه ساختار سنجش توانایی قرار میدهیم. ما نظریههای هوش را معرفی میکنیم و اطلاعات مربوط به ابزارهایی که برای اندازهگیری هوش طراحی شدهاند و همچنین اطلاعات مربوط به میزان مطابقت این ابزارها با تئوریهای هوش را ارائه میکنیم. ما همچنین هوش عاطفی و برخی از انتقادهای وارد بر آن را مطرح میکنیم. ما معیارهای رایج هوش را برجسته مشخص میکنیم و به کاربرد آنها برای مطالعات موردی میپردازیم. به صورت موردی اشاره میکنیم. همچنین درباره توسعه آزمونهای موفقیت، چگونگی گزارش امتیازات و ارتباط موفقیت و استعداد با توانایی شناختی عمومی گفتگو میکنیم به کاربردهای آنها برای مطالعات موردی نیز میپردازیم. در این فصل تمرکز ما بر این است که چگونه سنجش شغلی میتواند اطلاعات ارزشمندی را برای راهنمایی در مشوره شغلی و خشنودی کلی مشتریان در محیطهای گوناگون مانند مدارس، آژانسها، سازمانها و مکانهای فعالیت فرهم سازد. تئوریها و عناصر ارزیابی شغلی، و همچنین مروری بر معیارهای رایج مورد استفاده در سنجش شغلی ارائه میشوند. ما به طور خاص بر روی سیستم O*NET و کاربرد سنجش شغلی برای مطالعات موردی تمرکز میکنیم. فصل ۱۱: این فصل به حوزههای اختصاص دارد از جمله سنجش در ازدواج ، زوجها و مشاوره خانواده؛ مشاوره سؤمصرف مواد و مداخلات ارزیابی خودکشی اختصاص دارد. ما اطلاعات مربوط به مقیاسهای مرتبط با این حوزهها را فراهم میکنیم و آنها را برای مطالعات موردی به کار میبریم. به علاوه، ما مدلی برای ارزیابی خودکشی و بررسی کلی ابزارهایی که ممکن است مورد استفاده قرار گیرند را ارائه میکنیم. فصل ۱۲ : حالا که انواع مختلف سنجش که معمولاً در مشاوره کاربرد دارند را ارائه کردهایم نگاه کلی به چگونگی نوشتن گزارش سنجش ارایه میدهیم. ما هم ساختار و محتوای گزارش سنجش را مورد توجه قرار میدهیم و هم مثالهای روشنی را با استفاده از مطالعات موردی، در مورد این که چگونه گزارشها ممکن است برای مشتریان، عوامل داوری، و سهامداران نوشته شوند، فراهم میکنیم. فصل ۱۳ : ما کتاب را با مروری بر پاسخگویی در مشاوره و نقش سنجش به پایان میبریم. ما معیارهای استاندارد شده و استاندارد نشدهی پاسخگویی را مورد بحث قرار میدهیم و مسایل پاسخگویی را در مطالعات موردی خود به کار میبریم .رفتار مصرف کننده شناخت افكار، احساسات و رفتار مشتريان در بازار
ساکت شُو و خوب گوش کن…
- مهماننوازی (اگر نیمرو میخواهند...)؛
- بهتر است اعداد و ارقام کسب و کار خود را به خوبی را بشناسی؛
- قانون 95:5: «پنج» درصد تو چیست؛
- فرصت را دیدی، آن را غنیمت بشمار؛
- با رهبری خودت زندگی کن.

نقد و بررسیها
حذف فیلترهاهنوز بررسیای ثبت نشده است.