ریاضیات مهندسی جلد دوم

در مطالعه‌‌ تابع‌های مختلط، انتگرال‌ها بسیار مهم هستند. تئوری انتگرال گیری، که در این فصل مورد بحث قرار می‌گیرد، دارای اهمیت بالایی در ریاضیات می‌باشد. تئوری‌های بکار رفته، بصورت عمومی، دقیق و نیرومند هستند و بسیاری از اثبات‌ها کوتاه هستند.
1- مشتق تابع‌های w(t)
برای معرفی انتگرال‌های f(z) بصورت ساده، در ابتدا می‌بایست مشتق تابع‌های دارای مقدار مختلط w از یک متغیر حقیقی t را در نظر بگیریم. عبارت زیر را می‌نویسیم:
w(t)=u(t)+iv(t),
(1)
درحالی که تابع‌های u و v، تابع‌های با مقدار حقیقی از t هستند. مشتق:
w^' (t), یا d/dt w(t),
متعلق به تابع (1) در نقطه t‌‌ بصورت زیر تعریف می‌شود:
w^' (t)=u^' (t)+iv^' (t),
(2)
در صورتی که مشتق‌های u^' و v^' در t وجود داشته باشند.
با توجه به تعریف (2)، نتیجه می‌شود که برای هر ثابت مختلط z_0=x_0+iy_0 خواهیم داشت:
d/dt [z_0 w(t)]=[(x_0+iy_0 )(u+iv)]^'=[(x_0 u-y_0 v)+i(y_0 u+x_0 v)]'
=(x_0 u-y_0 v)^'+i(y_0 u+x_0 v)^'=(x_0 u^'-y_0 v^' )+i(y_0 u^'+x_0 v^' ).
ولی داریم:
(x_0 u^'-y_0 v^' )+i(y_0 u^'+x_0 v^' )=(x_0+iy_0 )(u^'+iv^' )=z_0 w^' (t),
و بنابراین به رابطه زیر می‌رسیم:
d/dt [z_0 w(t)]=z_0 w^' (t).
(3)
قانون مورد انتظار دیگری که اغلب مورد استفاده قرار می‌گیرد، بصورت زیر است:
d/dt e^(z_0 t)=z_0 e^(z_0 t),
(4)
درحالی که z_0=x_0+iy_0 می‌باشد. برای اثبات، می‌نویسیم:
e^(z_0 t)=e^(x_0 t) e^(iy_0 t)=e^(x_0 t) cos⁡〖y_0 t〗+ie^(x_0 t) sin⁡〖y_0 t〗,
و با مراجعه به تعریف (2) در می‌یابیم که:
d/dt e^(z_0 t)=(e^(x_0 t) cos⁡〖y_0 t〗 )^'+i(e^(x_0 t) sin⁡〖y_0 t〗 )^'.
برخی قانون‌های آشنا از ریاضیات و جبر ساده ، ما را به عبارت زیر هدایت می‌کنند:
d/dt e^(z_0 t)=(x_0+iy_0 )(e^(x_0 t) cos⁡〖y_0 t〗+ie^(x_0 t) sin⁡〖y_0 t〗 ),
یا:
d/dt e^(z_0 t)=(x_0+iy_0 ) e^(x_0 t) e^(iy_0 t).
این رابطه همانند رابطه‌‌ (4) می‌باشد.
چندین قانون دیگر که در ریاضیات فرا گرفته شده اند، مانند قانون‌های مربوط به مشتق گیری از جمع‌ها و ضرب ها، همانگونه که برای تابع‌های با مقدار حقیقی از t اعمال می‌شوند، به کار برده می‌شوند. همانند ویژگی (3) و فرمول (4)، اثبات‌ها می‌توانند بر اساس قانون‌های مشابه در ریاضیات باشند. می‌بایست توجه شود که هر قانونی بر تابع‌های گروه (1) اعمال نمی‌شود. مثال زیر بر این نکته تاکید دارد.
مثال: فرض کنید که w(t) در بازه ‌‌ a≤t≤b پیوسته است و تابع‌های مولفه‌ای u(t)و v(t) در آنجا پیوسته هستند. حتی در صورتی که w'(t) در حالتی که a<t<b است، وجود داشته باشد، تئوری مقدار متوسط برای مشتق ها، دیگر اعمال نمی‌شود. به بیان دیگر، اینکه عدد c در بازه‌‌ a<t<b بصورتی وجود داشته باشد که رابطه‌‌ زیر برقرار باشد، الزاما درست نمی‌باشد:
w^' (c)=(w(b)-w(a))/(b-a).
برای مشاهده این نکته، تابع w(t)=e^it را در بازه 0≤t≤2π در نظر بگیرید. در هنگام استفاده از این تابع، عبارت |w'(t)|=|ie^it |=1 برقرار می‌باشد؛ و به این معنی است که مشتق w'(t) هرگز برابر با صفر نمی‌باشد؛ در حالی که w(2π)-w(0)=0 می‌باشد.
2- انتگرال‌های معین از تابع‌های w(t)
هنگامی که w(t) یک تابع با مقدار مختلط از متغیر حقیقی t باشد و بصورت زیر نوشته شود:
w(t)=u(t)+iv(t),
(1)
درحالی که u و v دارای مقدار حقیقی هستند، آنگاه انتگرال معین w(t) بر روی بازه a≤t≤b ‌‌ بصورت زیر تعریف می‌شود (در صورتی که هر کدام از انتگرال‌های طرف راست وجود داشته باشند.):
∫_a^b▒〖w(t)dt=∫_a^b▒u(t)dt〗+i∫_a^b▒〖v(t)dt.〗
(2) بنابراین:
Re∫_a^b▒w(t)dt=∫_a^b▒Re[w(t)]dt و Im∫_a^b▒w(t)dt=∫_a^b▒〖Im[w(t)]dt.〗
(3)
مثال1: برای نمایش تعریف (2)، داریم:
∫_0^1▒〖〖(1+it)〗^2 dt=〗 ∫_0^1▒〖(1-t^2)〗 dt+i∫_0^1▒2tdt=2/3+i.
انتگرال‌های ناسره (یا انتگرال‌های مجازی)، از w(t) بر روی بازه‌های نامحصور به روشی مشابه تعریف می‌شوند.
وجود انتگرال‌های u و v در تعریف (2)، در صورتی که این تابع‌ها در بازه‌‌ a≤t≤b بصورت تکه‌ای پیوسته باشند، تضمین شده است. چنین تابعی در همه جا در بازه‌های گفته شده پیوسته است؛ بجز برای تعداد متناهی از نقطه‌هایی که در آن نقطه ها، همچنان که ناپیوسته می‌باشد، دارای حدهای یک طرفه است. البته در نقطه a، تنها حد طرف راست، و در نقطه‌‌ b، تنها حد طرف چپ مورد نیاز می‌باشد. هنگامی که هم u و هم v بصورت تکه‌ای پیوسته باشند، گفته می‌شود که تابع w دارای آن ویژگی است.
قانون‌های مورد انتظار برای انتگرالگیری از یک ثابت مختلط ضرب در تابع w(t)، برای انتگرالگیری از جمع‌های چنین تابع‌‌هایی، و برای تعویض حدهای انتگرال گیری، همگی معتبر می‌باشند. این ویژگی ها، همچون ویژگی زیر به سادگی و با یادآوری نتیجه‌های مربوطه در ریاضیات، اثبات می‌شوند:
∫_a^b▒w(t)dt=∫_a^c▒w(t)dt+∫_c^b▒〖w(t)dt.〗

تئوری اساسی ریاضیات، شامل پادمشتق ، را می‌توان بگونه‌ای بسط داد تا به انتگرال‌های گروه (2) اعمال شوند. به بیان دیگر، فرض کنید که تابع های:
w(t)=u(t)+iv(t) و W(t)=U(t)+iV(t)
در بازهa≤t≤b پیوسته هستند. اگر هنگامی که a≤t≤b است، W^' (t)=w(t) باشد، آنگاه U^' (t)=u(t) و V^' (t)=v(t) می‌باشند. بنابراین، با توجه به تعریف (2)، داریم:
∫_a^b▒〖w(t)dt=〗 ├ U(t)] b¦a+i├ V(t)] b¦a=[U(b)+iV(b)]-[U(a)+iV(a)].
به بیان دیگر:
∫_a^b▒w(t)dt=W(b)-W(a)=├ W(t)] b¦a.
(4)
مثال 2: از آنجایی که (بخش 1) عبارت زیر برقرار است:
d/dt(e^it/i)=1/i d/dt e^it=1/i ie^it=e^it,
می‌توان مشاهده نمود که:
∫_0^(π/4)▒〖e^it dt〗=├ e^it/i] (π/4)¦0=e^(iπ/4)/i-1/i=1/i(cos⁡〖π/4〗+i sin⁡〖π/4〗-1)=1/i(1/√2+i/√2-1)=1/√2+1/i(1/√2-1).
سپس از آنجایی که 1/i=-i می‌باشد، داریم:
∫_0^(π/4)▒〖e^it dt〗=1/√2+i(1-1/√2).
با یادآوری مثال موجود در بخش 1 درباره‌‌ تئوری مقدار متوسط برای مشتق‌ها در ریاضیات، در می‌یابیم که این تئوری به تابع‌‌های با مقدار مختلط w(t) اعمال نمی‌شوند. مثال پایانی در اینجا نشان می‌دهد که تئوری مقدار متوسط بر روی انتگرال‌ها نیز اعمال نمی‌شود. بنابراین در اعمال قانون‌های موجود ریاضیات می‌بایست دقت شود.
مثال 3: فرض کنید که w(t) تابعی پیوسته و با مقدار مختلط از t باشد که در بازه‌‌ a≤t≤b تعریف شده است. برای نشان دادن اینکه الزاما عدد c در بازه‌‌ 0<t<b وجود ندارد؛ بگونه‌ای که رابطه‌‌ زیر را برقرار نماید:
∫_a^b▒w(t)dt=w(c)(b-a),
عبارت‌های a=0 و b=2π را می‌نویسیم و از تابع w(t)=e^it (0≤t≤2π) همانند مثال موجود در بخش 1 استفاده می‌کنیم. به سادگی می‌توان مشاهده نمود که عبارت زیر برقرار است:
∫_a^b▒w(t)dt=∫_0^2π▒〖e^it dt〗=├ e^it/i] 2π¦0=0.
ولی به ازای هر عدد c، بگونه‌ای که عبارت 0<c<2π برقرار باشد، داریم:
|w(c)(b-a)|=|e^ic |2π=2π
و به این معنی است که w(c)(b-a) برابر با صفر نمی‌باشد.

تمرین
1- از قانون‌های موجود در ریاضیات استفاده کنید و نشان دهید هنگامی که:
w(t)=u(t)+iv(t)
یک تابع مقدار مختلط از متغیر حقیقی t باشد و w'(t) وجود داشته باشد، آنگاه قانون‌های موجود در گزینه‌های زیر درست هستند:
الف) d/dt w(-t)=-w'(-t) ؛ بطوری که w'(-t) نشان دهنده‌‌ مشتق w(t) نسبت به t می‌باشد که در -t ارزیابی شده است.
ب) d/dt 〖[w(t)]〗^2=2w(t)w'(t)
2- انتگرال‌های زیر را محاسبه کنید (Re z>0):
الف)
∫_1^2▒〖〖(1/t-i)〗^2 dt〗
ب)
∫_0^(π/6)▒〖e^i2t dt〗
ج)
∫_0^∞▒〖e^(-zt) dt〗
پاسخ: الف)
-1/2-i ln⁡4
ب)
√3/4+i/4
ج)
1/z

3- نشان دهید در صورتی که m و n عددهای صحیح باشند، آنگاه عبارت زیر برقرار است:
∫_0^2π▒〖e^imθ e^(-inθ) dθ={█(0@2π) ┤ 〗 (m≠n)¦(m=n)
4- بر اساس تعریف (2) از بخش 1 درباره‌‌ انتگرال‌های معین از تابع‌های با مقدار مختلط از متغیر حقیقی، رابطه زیر برقرار است:
∫_0^π▒〖e^((1+i)) dx=〗 ∫_0^π▒〖e^x cos⁡x dx〗+i∫_0^π▒〖e^x sin⁡x dx〗
دو انتگرال طرف راست را با محاسبه‌‌ انتگرال موجود در طرف چپ و سپس استفاده از بخش‌های حقیقی و موهومی متعلق به مقدار بدست آمده، محاسبه نمایید.
پاسخ: -(1+e^π)/2, (1+e^π)/2
5- فرض کنید w(t)=u(t)+iv(t) نشان دهنده‌‌ یک تابع پیوسته و با مقدار مختلط باشد که در بازه‌‌ -a≤t≤a تعریف شده باشد.
الف) فرض کنید w(t) زوج باشد؛ بنابراین به ازای هر نقطه t‌‌ در بازه‌‌ داده شده، w(-t)=w(t) می‌باشد. نشان دهید که رابطه‌‌ زیر برقرار است:
∫_(-a)^a▒w(t)dt=2∫_0^a▒w(t)dt
ب) در صورتی که w(t) فرد باشد و به ازای هر نقطه‌‌ t در بازه‌‌ داده شده، w(-t)=-w(t) باشد، نشان دهید که رابطه‌‌ زیر برقرار است:
∫_(-a)^a▒〖w(t)dt=〗 0
پیشنهاد: در هر بخش از این تمرین، از ویژگی انتگرال تابع‌های با مقدار حقیقی از t، که به صورت گرافیکی آشکار می‌باشد، استفاده کنید.